Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 32
Demonstre cada afirmação usando a definição de limite.
Passo 1
E aí, galerinha, tudo joia? Vamos destruir essa questão, vem comigoo!
Devemos usar a definição formal de limite para demonstrar que o limite abaixo é verdadeiro
Eu sei que você deve estar pensando que é óbvio que esse limite vale porém devemos usar a definição precisa de limite.
Da definição apresentada na seção, tomando:
temos que o limite existe se para todo conseguirmos encontrar um tal que
Seja equivalente a
Eu sei que isso parece complicado, mas é só notação rebuscada: na prática, o que faremos é tentar achar um que satisfaça a relação exposta. Basta achar um em função de que satisfaça isso que mostramos o limite!!!
Passo 2
Vamos reescrever a relação que queremos satisfazer:
Como
temos que
Assim, temos que
Equivale a
Como quando tomamos o limite deve estar próximo de podemos tomar por exemplo:
Assim,
Simplificando, teremos:
Observe que nesse intervalo a função é crescente, de modo que se
Então
Desta forma, como veremos, é interessante fazer a escolha
Passo 3
Agora vamos provar que a escolha feita no passo 2 é suficiente para demonstrar o limite.
Se
então
e
Assim, como
então
Desta forma,
Por outro lado, se
então
Assim, essa escolha de implica
Além disso, temos que de modo que Desta forma, com essa escolha de temos que
e
Assim, temos que:
Assim, como achamos um tal que para todo a relação é satisfeita, provamos o limite!!!
É importante ressaltar que nossa escolha para não é única: outras escolhas podem demonstrar o limite também.
Resposta
Demonstração.