Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 22
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Opaaa, temos que provar que:
Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite.
A definição precisa de limite diz que
Se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número , achar um outro número (que será dado em função de ) que satisfaça a relação dada.
Vem comigo que te ajudo com isso.
Passo 2
Dado que , nós precisamos achar , tal que se satisfaça a expressão abaixo:
Então temos que:
Temos que notar aqui que se , então , pois a expressão deve ser maior que zero, e não pode incluir o valor .
Vamos simplificar a expressão de dentro do módulo
Usando o produto notável “produto de Stevin”, podemos escrever:
O que facilita muito a nossa vida. Vamos agora substituir em
Ficando com
O que nos mostra que se:
Então:
Passo 3
Isso nos dá que se nós escolhemos , e substituirmos seu valor em
temos que:
E voltando, teremos:
E nos leva a:
Portanto, temos pelo limite da definição que o limite é:
Prontinho. Demonstrado pela definição de limite.
Resposta
Demonstração.