Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 2
Verifique, por derivação, que a formula está correta
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha?
Bom, essa questão pede pra gente ferificar usando a derivação se a fórmula:
Está correta.
Bem direta ao ponto, né!
A ideia aqui é lembrar que a integral é o peração inversa da derivada. Assim, se derivarmos a função que encontramos após itegrar, temos que chegar a mesma função que estava sendo integrada.
Vamos refazer o processo e ver se isso realmente é verdade. Vem comigo.
Passo 2
Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!
Seja
derivando, ficamos com uma derivação através da regra do produto para o primeiro termo, e uma derivação direta para o segundo e o terceiro.
Assim:
Lembrando que a derivada do é e a derivada de uma constante é igual a zero, ficamos com:
Que simplificando se torna:
Reparou que encontramos o que estava dentro da integral?
Então está verificado.
Resposta
Demonstração.