Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 28
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Olá, caro colega. Pronto para essa resolução?
O enunciado pede para calcular o limite usando a definição formal.
A definição precisa de limite diz que
Se “Para todo , existe um tal que se , então ”
Vamos utilizar essa definição para provar o limite:
O que devemos fazer é achar uma relação para (em função de ) tal que a primeira afirmação () implique na segunda ().
Então, basicamente, o limite nos diz para onde a função está indo à medida que nos aproximamos de um ponto específico, mesmo que ela possa nunca realmente chegar lá. É como se estivéssemos observando o comportamento da função bem de perto, mas sem realmente atingir aquele ponto exato.
E �� isso que vamos fazer de forma geral, ao chegarmos perto de um ponto:
Isso implicará que nossa função chegar perto de um número:
Passo 2
Neste passo vamos conjecturar um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.
Como desta vez estamos calculando um limite lateral pela esquerda, a definição é ligeiramente modificada: Seja um número dado, devemos achar tal que
se
Então
Como neste caso , e , devemos achar tal que:
se
Então
Assim, devemos achar tal que
Se
Então
Se queremos que
então
ou ainda,
Além disso, como o limite é tomado pela esquerda, temos que . Assim, temos que
Desta forma, podemos tomar . Na próxima passo mostramos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.
Passo 3
Se tomarmos , temos que se
então
de modo que
o que implica em
Assim provamos que o limite é .
Resposta
Demonstração.