Determine o limite infinito

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema foi dado limite

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2

E nosso objetivo é mostrar que esse limite tende ao infinito.

Parece complicado?

Basicamente o que temos que fazer é verificar o valor que a função

f x = x - 1 x 2 x + 2

Quando x tende a - 2 pela direita, ou seja, para x = - 1,99 , x = - 1,999 ...

Para resolver esse exercício, vamos manipular a função no limite de modo que seja possivel evidenciar uma resposta.

Veja só!

Passo 2

Temos que

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2

Podemos separar essa fração em duas a partir de x 2 que está em evidencia no denominador...

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 1 x + 2

Agora aplicamos a propriedade de limite que diz que o limite do produto é igual ao produto do limite, ou seja

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 1 x + 2 = lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 · lim x → - 2 + ⁡ 1 x + 2

Se x → - 2 + , temos que o primeiro limite é dado por

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 = - 2 - 1 - 2 2 = - 3 4

Já o segundo limite tem uma pequena diferença... observe que o denominador zera em x = - 2 , mas como estamos nos aproximando pela direita, o denominador vai tender a 0 , mas sempre com valores positivos...

Quando temos uma constante que é dividida por um numero muito pequeno, próximo de zero, o resultado dessa divisão tende a um numero muito grande, proximo de .

lim x → - 2 + ⁡ 1 x + 2 = ∞

Substituindo esses resultados na fração do enunciado, temos

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2 = lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 · lim x → - 2 + ⁡ 1 x + 2

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2 = - 3 4 · ∞

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2 = - ∞

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → - 2 + ⁡ x - 1 x 2 x + 2 = - ∞

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