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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 29

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g d V

Passo 1

Oii, galera! Tudo bem?

Nossa questão pede que a gente demonstre a identidade:

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f + ∇ g d V

Como o enunciado diz, todas as condições das variáveis envolvidas satisfazem o Teorema do Divergente, então vamos usá-lo para chegar na nossa resposta.

Relembrando:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Bora!

Passo 2

Partindo da integral:

∬ S f ∇ g ∙ n   d S

E sabendo que:

d S → = n →   d S

Podemos escrever:

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∬ S f ∇ g ∙ d S

Temos pelo Teorema do Divergente:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Com S sendo uma superfície fechada e E é a região dentro da superfície. E usando o Teorema do Divergente, ficamos com:

∬ S f ∇ g ∙ d S = ∭ E div ⁡ f ∇ g d V

Usando a equação:

d i v   F = ∇ ⋅ F

E aqui estamos considerando:

F = f ∇ g

Ficamos com:

∭ E div ⁡ f ∇ g d V = ∭ E ∇ ∙ f ∇ g   d V

Passo 3

Vamos agora usar a seguinte propriedade:

F = ∇ g

Assim, substituindo na nossa integral tripla:

∭ E ∇ ∙ f ∇ g   d V = ∭ E ∇ ∙ f F   d V

Usando uma outra propriedade:

∇ ∙ f F = f ∇ ∙ F + ∇ f ∙ F

Ficamos com:

= ∭ E f ∇ ∙ F + ∇ f ∙ F   d V

Usando novamente a propriedade:

F = ∇ g

= ∭ E f ∇ ∙ ∇ g + ∇ f ∙ ∇ g   d V = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g   d V

Então, provamos a identidade:

∬ S f ∇ g ∙ n   d S = ∭ E f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g d V

Resposta

Demonstração.

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