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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 20

Suponha que S e C satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes, e f   e   g tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Use os exercícios 24   e   26 da seção 16.5 para demonstrar o seguinte:

  1. ∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ f × ∇ g ⋅ d S →
  2. ∫ C f ∇ f ⋅ d r → = 0
  3. ∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = 0

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão está pedindo.

Primeiro, ela diz que existem duas regiões S e C que satisfazem o Teorema de Stokes.

Segundo, ela diz que existem duas funções f e g que possuem derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

E terceiro, ela pede para demonstrarmos

  1. ∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ f × ∇ g ⋅ d S →
  2. ∫ C f ∇ f ⋅ d r → = 0
  3. ∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = 0

Utilizando os exercícios 24 que diz o rotacional da soma é a soma dos rotacionais

∇ × F → + G → = ∇ × F → + ∇ × G →

E 26 da seção 16.5 que diz isso 😅

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

Tranquilo até aqui?

Para mostrar essas identidades vamos usar o Teorema de Stokes como o enunciado fala

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ d S

Lembrando que o rotacional se calcula assim:

∇ × F → = i → j �� k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = i → ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y + j → ∂ ∂ z F x - ∂ ∂ x F z + k → ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x

Então, para demonstrar, vamos calcular o rotacional de cada integrando do lado esquerdo em cada item para aplicar o teorema e quando for necessário, utilizar as os exercícios 24 e 26 para nos ajudar.

E por que não ao contrário? Normalmente os exercícios querem que a gente faça da esquerda para a direita. Mas também é possível fazer o inverso.

Vamos começar?

Passo 2

Começando pela letra a), temos que demonstrar

∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ f × ∇ g ⋅ d S →

O Teorema de Stokes diz que

∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ g ⋅ d S →

Vamos ter que fazer o rotacional de

f ∇ g

Temos então

∇ × f ∇ g

Lembrando do exercício 26, ele diz que

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

Agora supondo que

f = f

E

∇ g = F →

Ficaremos com

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

∇ × f ∇ g = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g

Ok?

Agora vamos calcular o valor de

∇ × ∇ g

No primeiro termo do lado direito, lembrando que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

Pois é o gradiente. Continuando

∇ × ∇ g = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ g ∂ x ∂ g ∂ y ∂ g ∂ z

Que é a mesma coisa que

∇ × �� g = i → ∂ ∂ y ∂ g ∂ z - ∂ ∂ z ∂ g ∂ y + j → ∂ ∂ z ∂ g ∂ x - ∂ ∂ x ∂ g ∂ z + k → ∂ ∂ x ∂ g ∂ y - ∂ ∂ y ∂ g ∂ x

Mas saca só! As derivadas mistas parciais são sempre iguais quando as derivadas de segunda ordem são continuas (condição que o enunciado garante), então temos que:

∇ × ∇ g = 0

E a identidade é simplificada:

∇ × f ∇ g = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g

∇ × f ∇ g = f   .   0 + ∇ f × ∇ g

∇ × f ∇ g = ∇ f × ∇ g

Agora, voltando para o Teorema de Stokes

∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ g ⋅ d S →

Ficamos com:

∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ f × ∇ g ⋅ d S →

Exatamente o que queríamos mostrar!

Passo 3

Vamos para o próximo item! Letra b)!

∫ C f ∇ f ⋅ d r → = 0

O Teorema de Stokes diz que

∫ C f ∇ f ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ f ⋅ d S →

Vamos ter que fazer o rotacional de f ∇ f

∇ × f ∇ g

Lembrando do exercício 26, ele diz que

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

Agora temos

f = f

E

F → = ∇ f

Aplicando a identidade do exercício 26 :

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

Substituindo

∇ × f ∇ f = f ∇ × ∇ f + ∇ f × ∇ f

Pelo item ( a ) vimos que o primeiro termo do lado direito é zero.

Tá, mas e o segundo termo? Também vai ser! Ali temos um produto vetorial entre dois vetores iguais. Se eles são iguais, quer dizer que eles têm o mesmo módulo, direção e sentido, ou seja, são paralelos! E sabemos que um produto vetorial entre vetores paralelos é zero!

∇ × f ∇ f = 0

Voltando para o Teorema de Stokes

∫ C f ∇ f ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ f ⋅ d S →

Colocando no integrando teremos:

∫ C f ∇ f ⋅ d r → = ∬ S 0 ⋅ d S →

∫ C f ∇ f ⋅ d r → = 0

Certo! Mostramos o segundo item! Vamos pro último?

Passo 4

A letra c) afirma que:

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = 0

O Teorema de Stokes afirma que

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ g + g ∇ f ⋅ d S →

Bom, procedendo da mesma forma, vamos calcular o rotacional do integrando

f ∇ g + g ∇ f

Temos então

∇ × f ∇ g + g ∇ f

Agora, usando o exercício 24 que diz:

∇ × F → + G → = ∇ × F → + ∇ × G →

Supondo

f ∇ g = F →

E

g ∇ f = G →

Temos

∇ × F → + G → = ∇ × F → + ∇ × G →

∇ × f ∇ g + g ∇ f = ∇ × f ∇ g + ∇ × ( g ∇ f )

Certo! Agora vamos aplicar propriedade do exercício 26 , a mesma que usamos no item ( a ) :

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

Para o primeiro rotacional:

f = f

∇ g = F →

Temos

∇ × f ∇ g = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g

Para o segundo:

f = g

∇ f = F →

Assim,

∇ × g ∇ f = g ∇ × ∇ f + ∇ g × ∇ f

Juntando os dois

∇ × f ∇ g + ∇ × g ��� f = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g + g ∇ × ∇ f + ∇ g × ∇ f

Retomando nossa equação anterior

∇ × f ∇ g + g ∇ f = ∇ × f ∇ g + ∇ × ( g ∇ f )

Podemos reescrever como

∇ × f ∇ g + g ∇ f = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g + g ∇ × ∇ f + ∇ g × ∇ f

Bom, parece meio confuso, mas presta atenção no primeiro e terceiro termo do lado esquerdo

f ∇ × ∇ g

g ∇ × ∇ f

Eles são exatamente o resultado que achamos no item ( a )

f ∇ × ∇ g = 0

Porém com as funções ∇ g e ∇ f . Então esses termos são zero!

Agora ficamos com esses dois termos do lado esquerdo:

∇ × f ∇ g + g ∇ f = ∇ f × ∇ g + ∇ g × ∇ f

Como relembrar é viver, aqui devemos lembrar que em um produto vetorial a ordem importa!

E se alterarmos a ordem no produto, o sinal se inverte! Assim ó:

a → × b → = - b → × a →

Aplicando isso para

∇ g × ∇ f = - ∇ f × ∇ g

E substituindo ali em cima:

∇ × f ∇ g + g ∇ f = ∇ f × ∇ g - ∇ f × ∇ g

Portanto,

∇ × f ∇ g + g ∇ f = 0

Voltando para o Teorema de Stokes

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ g + g ∇ f ⋅ d S →

Fazendo a substituição

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = ∬ S 0 ⋅ d S →

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = 0

Beleza!

Resposta

A resposta é a demonstração feita ao longo dos passos!

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