Se ∑ a n for divergente e c ≠ 0 , mostre que ∑ c a n é divergente.

Enunciado

Pessoal, aqui a gente sabe que uma série diverge e queremos provar que uma outra série muito parecida com ela também diverge.

Bom, acho que o que temos que fazer é comparar ne. Ver o que elas tem de pareciso ou de diferente, ver se conseguimos sair de uma e chegar na outra.

Vamos chamar de a enésima parte da somatória

Se diverge, significa que a soma parcial diverge quando . Isto é, o seu limite

é ou não existe. Então a gente tem que provar que, desde que o limite:

também é ou não existe,

Agora, vamos considerar

Sua enésima parte será

Mas num somatório, a gente pode colocar a constante em evidência:

E assim a gente encontra exatamente o mesmo somatório da primeira série:

Agora vamos ao limite:

Limite de constante é a própria constante, então podemos colocar pra fora:

Opa mas a gente já sabe que é u não existe. E multiplicar por não vai mudar esse resultado. Então esse

Então a soma parcial diverge quando . Se uma parte da soma diverge, então a série inteira diverge.

Assim, podemos concluir que é divergente.

Demonstração.