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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 25

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S   a ⋅ n   d S = 0 , onde a é um vetor constante

Passo 1

E aí, minha gente! Tudo tranquilo?

A questão pede para demonstrarmos a identidade

∬ S   a ⋅ n   d S = 0 , onde a é um vetor constante

Dado que nesse caso todas as condições satisfazem o Teorema do Divergente.

Para provar essa identidade, vamos partir do Teorema do divergente, que traz que:

∬ S   F ⋅ n   d S = ∭ E   div ⁡ F d V

Passo 2

Nós temos aqui a integral dupla:

∬ S   a ⋅ n   d S

Que comparando com o Teorema do Divergente, temos:

∬ S   a ⋅ n   d S = ∬ S   F ⋅ n   d S

Então:

F = a

Ou seja:

∬ S   a ⋅ n   d S = ∭ E   div ⁡ a d V

Acontece que uma propriedade do divergente é que o divergente de uma constante é zero!

Então:

∬ S   a ⋅ n   d S = ∭ E   div ⁡ a d V = ∭ E   0   d V = 0

Confirmando a identidade do enunciado:

∬ S   a ⋅ n   d S = 0

Resposta

Demonstração feita.

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