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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 30

Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

∬ S   f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E     f ∇ 2 g - g ∇ 2 f   d V

Passo 1

E aí, meus amigos! De boa?

A questão pede a demonstração da identidade:

∬ S   f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E     f ∇ 2 g - g ∇ 2 f   d V

Como o enunciado diz, todas as condições das variáveis envolvidas satisfazem o Teorema do Divergente, então vamos usá-lo para chegar na nossa resposta.

Relembrando:

∬ S F ∙ d S = ∭ E div ⁡ F d V

Vamos lá!

Passo 2

Temos a integral dupla dada no enunciado:

∬ S   f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S

Podemos escrever a integral da subtração como uma subtração de integrais:

∬ S   f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∬ S   f ∇ g ∙ n   d S - ∬ S   g ∇ f ∙ n   d S

E sabemos pelo enunciado da questão 29 do capítulo 16 , seção 9 que:

∬ S   f ∇ g ⋅ n   d S = ∭ E   f ∇ 2 g + ∇ f ⋅ ∇ g   d V

Pra obter a segunda integral é simples, é só pegar acima e trocar f por g e vice versa:

∬ S   g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E   g ∇ 2 f + ∇ g ∙ ∇ f   d V

Temos então que:

∬ S   f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∬ S   f ∇ g ∙ n   d S - ∬ S   g ∇ f ∙ n   d S

Substituindo:

= ∭ E   f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g   d V - �� E   g ∇ 2 f + ∇ g ∙ ∇ f   d V

Expressando a subtração de integrais como a integral da subtração:

= ∭ E   f ∇ 2 g + ∇ f ∙ ∇ g - g ∇ 2 f - ∇ g ∙ ∇ f   d V

Cancelando os termos iguais com sinais diferentes:

= ∭ E   f ∇ 2 g - g ∇ 2 f   d V

Pronto, demonstrada a identidade:

∬ S   f ∇ g - g ∇ f ∙ n   d S = ∭ E     f ∇ 2 g - g ∇ 2 f   d V

Resposta

Demonstração.

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