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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 2

Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F →   na região E .

F → x , y , z = x 2 i → + x y j → + z k → , E é o sólido limitado pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e pelo plano x y .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Basicamente, ela quer que apliquemos o Teorema do Divergente

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

No campo vetorial F → para a região E , sendo

F → x , y , z = x 2 i → + x y j → + z k →

E E   é o sólido limitado pelo paraboloide

z = 4 - x 2 - y 2

e pelo plano x y .

Lembrando que divergente é calculado assim:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z F z

E em coordenadas cilíndricas:

∇ ⋅ F → = 1 r ∂ r F r ∂ r + 1 r ∂ F θ ∂ θ + ∂ F z ∂ z

Então, para fazer isso, vamos calcular primeiro o lado direito do teorema, resolvendo a integral tripla e depois o lado esquerdo, resolvendo a integral de superfície (tudo usando coordenadas cilíndricas, pois temos um paraboloide). Poderia ser o contrário também, ok?

Passo 2

Começando, temos nosso campo vetorial

F → x , y , z = x 2 i → + x y j → + z k →

Pelo Teorema da Divergência temos:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Começando pelo lado direito, vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 2 + ∂ ∂ y x y + ∂ ∂ z z = 3 x + 1

Passo 3

Legal! O próximo passo é saber qual é a região E .

É um paraboloide, então em coordenadas cilíndricas temos

x = r c o s θ

y = r s e n θ  

z = z

Substituindo na equação do paraboloide

z = 4 - x 2 - y 2

z = 4 - r 2

Projetando essa figura no plano x y (fazendo z = 0 ), temos

z = 4 - x 2 - y 2

0 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 4

Que é um círculo completo de raio 2 , então temos o intervalo

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ z ≤ 4 - r 2

Passo 4

Agora vamos montar a integral

∭ E ∇ ⋅ F → d V

Convertendo o campo

F → x , y , z = x 2 i → + x y j → + z k →

Para coordenadas cilíndricas, sendo

x = r c o s θ

y = r s e n θ  

z = z

E lembrando que

i → = cos ⁡ θ r → - sen ⁡ θ θ →

​ j → = sen ⁡ θ r → + cos ⁡ θ θ →

k → = z →

Temos

F → x , y , z = r 2 cos ⁡ θ r → + z z →

O divergente em coordenadas cilíndricas é

∇ ⋅ F → = 1 r ∂ r F r ∂ r + 1 r ∂ F θ ∂ θ + ∂ F z ∂ z

∇ ⋅ F = 3 r c o s θ + 1

O elemento de volume é

d V = r d z d r d θ

Temos, então

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 3 r c o s θ + 1 r d z d r d θ  

Passo 5

Agora podemos calcular o valor da integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 3 r c o s θ + 1 r d z d r d θ  

Resolvendo para z

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 4 - r 2 3 r c o s θ + 1 r d z d r d θ   = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r 2 c o s θ z + r z 0 4 - r 2 d r d θ

Substituindo os limites

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r 2 c o s θ z + r z 0 4 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 12 r 2 c o s θ - 3 r 4 c o s θ + 4 r - r 3   d r d θ

Resolvendo para r

∫ 0 2 π ∫ 0 2 12 r 2 c o s θ - 3 r 4 c o s θ + 4 r - r 3   d r d θ = ∫ 0 2 π 12 r 3 3 - 3 r 5 5 c o s θ + 4 r 2 2 - r 4 4 0 2 d θ

Aplicando os limites

∫ 0 2 π 12 r 3 3 - 3 r 5 5 c o s θ + 4 r 2 2 - r 4 4 0 2 d θ = ∫ 0 2 π ( 32 c o s θ - 19,2 c o s θ + 4 ) d θ

Resolvendo para θ

∫ 0 2 π ( 32 c o s θ - 19,2 c o s θ + 4 ) d θ = 8 π

Lembrando que integrar seno ou cosseno em um período completo é zero!

Portanto,

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 8 π

Certo! Agora temos que calcular para o outro lado!

Passo 6

Agora vamos calcular o lado esquerdo. Montando a integral primeiro!

Como a região a ser considerada é um paraboloide, um vetor normal a ele é n → = k → .

O campo é

F = x 2 ,   x y ,   z .

O produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = x 2 , x y , z ⋅ 0,0 , 1 = z

z = 4 - r 2

A região projetada no plano x y , como vimos é um círculo de raio 2

x 2 + y 2 = 4

Em coordenadas polares, o elemento de área vai ser

d A = r d r d θ

Com os limites:

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

Temos então

∬ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r - r 3 d r d θ

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral!

Começando em relação à r :

∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r - r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 4 r 2 2 - r 4 4 0 2 d θ

Resolvendo os limites

∫ 0 2 π 4 r 2 2 - r 4 4 0 2 d θ = 4 ∫ 0 2 π d θ = 8 π

Agora em relação à θ

4 ∫ 0 2 π d θ = 8 π

Assim,

∬ S F → ⋅ d S → = 8 π

Portanto,

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 8 π

Então verificamos o teorema 😁

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V = 8 π

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