Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 15
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a esfera com centro na origem e raio
Passo 1
Faaala, galera! Tudo show de bola? 😉
Precisamos calcular a integral de linha pelo Teorema da Divergência, dado que o fluxo do campo vetorial é:
Onde a superfície é definida por uma esfera com centro na origem e raio .
Gente, pra calcular a integral de superfície pelo Teorema do Divergente, precisamos ter essa fórmula aqui:
Ou seja, temos que calcular o divergente do campo que é dado pelas derivadas parciais do campo:
Passo 2
A questão nos deu
Mas antes de jogar na fórmula, vamos saber quem é cada termo:
Então,
Cujo resultado será
Colocando termo em evidência:
Certo? Agora vamos ver a região de integração!
A região de integração é uma esfera.
Em coordenadas esféricas temos
No plano temos um círculo de raio . Assim os limites das variáveis são:
E o diferencial de volume vai ser
Sabemos que o divergente do campo é
Mas na nova parametrização em coordenadas esféricas teremos
Agora é só colocar na integral!
Passo 3
Na nossa fórmula
Substituindo todas as informações que temos
Resolvendo de dentro para fora, primeiro em relação a ,
Agora em relação a (e também para , onde só precisamos acrescentá-lo e substituir os limites de integração, chegaremos a
Ou seja,