Demonstre que quando , cresce mais rapidamente que para qualquer inteiro positivo, até mesmo . Dica: qual é enésima derivada de
Passo 1
Galera, queremos demonstrar que , cresce mais rapidamente que quando . Para isso, vamos calcular o seguinte limite:
Para encontrar esse limite precisamos da regra de L´Hospital. Mas como ficaria a n-ésima derivada de
Observe:
Fazendo esse processo sucessivamente temos que a n-ésima derivada de é:
Passo 2
Voltando para o cálculo do limite, temos:
Para qualquer inteiro não negativo n.
Concluímos que cresce mais rapidamente que para qualquer inteiro positivo, até mesmo quando
Resposta
Questão de demonstração