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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 19

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 15-20: x + 1 d y d x - 2 x 2 + 1 y = e x 2 x + 1 y ( 0 ) = 5

Passo 1

A EDO em questão e do tipo linear. Essa tem um formato de:

y ` + P x y = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( x ) d x

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

y = 1 v x ∫ f x ⋅ v x d x + c

Passo 2

Vamos reescrever a expressão do problema da seguinte forma:

d y d x - 2 x 2 + 1 x + 1 y = e x 2 x + 1 2

d y d x - 2 x x + 1 x + 1 y = e x 2 x + 1 2 ⇒ d y d x - 2 x y = e x 2 x + 1 2

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P x = - 2 x

f = e x 2 x + 1 2

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e - ∫ 2 x d x = e - x 2

v = e - x 2

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

y = 1 e - x 2 ∫ e x 2 x + 1 2 ⋅ e - x 2 d x + c

Assim:

y = e x 2 ∫ 1 x + 1 2 d x = e x 2 1 x + 1 + c

y = e x 2 - 1 x + 1 + c

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, y ( 0 ) = 5 , temos que:

y 0 = e 0 2 - 1 0 + 1 + c = 5

1 ⋅ c = 6

c = 6

Resposta

Então o resultado será:

y = e x 2 - 1 x + 1 + 6

ou

y = 6 e x 2 - e x 2 x + 1

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