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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 25

Calcule as integrais. Talvez seja necessário fazer substituição primeiro.

Passo 1

Perceba que vamos precisar utilizar uma substituição.

Vamos tomar u =   x + 1 ⟹   d u = d x 2   x + 1   ⟹ d x =   2 u   d u   e x = u 2 - 1

∫ d x x (   3   x + 1 ) = ∫ u d u ( u 2 - 1 ) 3 u   = 2 3 ∫ d u u 2 - 1  

Passo 2

Então, podemos aplicar as frações parciais para resolver a integral. Como o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, que tem grau zero, primeiro, vamos decompor o polinômio denominador.

Ou seja,

u 2 - 1 = ( u + 1 ) ( u - 1 )  

Então,

1 u 2 - 1   = 1 ( u - 1 ) ( u + 1 )   =     A u - 1 + B u + 1  

Calculando o mmc, ficamos com

1 ( u - 1 ) ( u + 1 )   =     A     u + 1 + B ( u - 1   )   u - 1 u + 1    

Passo 3

Como os denominadores são iguais,

A     u + 1 + B ( u - 1   )   =   1  

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

u A + B + A - B =   1

Passo 4

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

A + B = 0   A - B = 1

Resolvendo o sistema, temos que

A = 1   e B = - 1

Passo 5

Sendo assim,

∫ d u u 2 - 1   = 2 3 ∫   [   1 u - 1 - 1 u + 1 ]   d u = 2 3 ∫ 1 u - 1 d u   - 2 3 ∫ 1 u + 1   d u

Resolvendo as integrais (usando a tabela)

  • 2 3 ∫ 1 u - 1 d u =   2 3 ln ⁡ u - 1
  • 2 3 ∫ 1 u + 1   d u = 2 3   l n ⁡ | u + 1 |

Passo 6

Substituindo,

2 3 ∫ d u u 2 - 1   = 2 3 ∫ 1 u - 1 d u   - 2 3 ∫ 1 u + 1   d u = 2 3 ln ⁡ u - 1 -   2 3 l n ⁡ | u + 1 |   + C        

Passo 7

Retornando à nossa substituição,

∫ d x x (   3   x + 1 ) = 2 3 ∫ 1 u - 1 d u =   2 3 ln ⁡ u - 1 - 2 3 ln ⁡ u + 1 + C       = 2 3 ln ⁡   x + 1 - 2 3 l n + ln ⁡ x + 1 + 1 + C  

Resposta

∫ d x x (   3   x + 1 ) = 2 3 ln ⁡   x + 1 - 2 3 ln ⁡ | x + 1 + 1 | + C    

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