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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 24

19-24. Encontre (d^2 y)/(d x^2) .

24. y = t g x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar (d^2 y)/(d x^2) ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y^' e depois derivar y ' para encontrarmos y^(' ') , ou melhor, (d^2 y)/(d x^2) . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

(d)/(d x)(s e n x)=cos x (d)/(d x)(cos x)=-senx (d)/(d x)(t g x)=sec^2 x

(d)/(d x)(sec x)=sec x.tgx (d)/(d x)(c o t g x)=-cossec^2x

(d)/(d x)(c o s s e c x)=-cossecx.cotgx

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = t g x

Aqui não devemos utilizar nenhuma regra, pois se trata de uma função cuja derivada é bem conhecida! Consultando a tabelinha do passo 1 teremos que o resultado será:

y^' = sec^2 x

Encontramos y^' , agora vamos encontrar y^(' ') !

Passo 3

Para encontrarmos y^(' ') vamos realizar uma substituição, tudo bem? Vamos fazer o seguinte:

u = sec x

u^' = sec x . t g x

Da nossa y^' temos que:

y^' = u^2

Derivando:

y^(' ') = 2 u . u^'

Substituindo u e u^' :

y^(' ') = 2 . sec x . sec x . t g x

Sendo assim, teremos:

(d^2 y)/(d x^2) = 2 sec^2 x . t g x

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = 2 sec^2 x . t g x

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