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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 22

19-24. Encontre (d^2 y)/(d x^2) .

22. y = x^2 . cos x + 4 s e n x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar (d^2 y)/(d x^2) ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y^' e depois derivar y ' para encontrarmos y^(' ') , ou melhor, (d^2 y)/(d x^2) . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

(d)/(d x)(s e n x)=cos x (d)/(d x)(cos x)=-senx (d)/(d x)(t g x)=sec^2 x

(d)/(d x)(sec x)=sec x.tgx (d)/(d x)(c o t g x)=-cossec^2x

(d)/(d x)(c o s s e c x)=-cossecx.cotgx

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = x^2 . cos x + 4 s e n x

Como temos um produto de duas funções (x^2 . cos x) , então devemos utilizar a regra do produto, que é a seguinte:

y = u . v

y^' = u^' . v + u . v^'

No nosso caso, temos:

u = x^2

u^' = 2 x

v = cos x

v^' = - s e n x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^' = (2 x . cos x - x^2 . s e n x) + 4 cos x

:. y^' = 2 x . cos x - x^2 . s e n x + 4 cos x

Encontramos y^' , agora vamos encontrar y^(' ') !

Passo 3

Note que na nossa derivada aparece dois outros produtos, que são (2 x . cos x) e (x^2 . s e n x) , então devemos aplicar mais duas regras do produto, uma para cada produto! Para o primeiro produto, temos:

u = 2 x

u^' = 2

v = cos x

v^' = - s e n x

E para o segundo produto, temos:

u = x^2

u^' = 2 x

v = s e n x

v^' = cos x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^(' ') = (2 . cos x - 2 x . s e n x) - (2 x . s e n x + x^2 . cos x) - 4 s e n x

Simplificando:

y^(' ') = 2 cos x - 2 x . s e n x - 2 x . s e n x - x^2 . cos x - 4 s e n x

y^(' ') = 2 cos x - 4 x . s e n x - x^2 . cos x - 4 s e n x

:. (d^2 y)/(d x^2) = cos x (2 - x^2) - 4 s e n x (x + 1)

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = cos x (2 - x^2) - 4 s e n x (x + 1)

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