Enunciado

Demonstre a Equação 5 usando

  1. O método do Exemplo 3;
  2. O Exercício 18, com x substituído por y.

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos relembrar a Equação 5:

t g h - 1 x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x  

Temos aqui que demonstrar essa equação e para isso vamos usar o método do Exemplo 3 , que é basicamente fazer:

y = t g h - 1 x

E então termos:

x = t g h   y

E então resolvermos até encontrar o valor de y .

Depois vamos resolver como no exercício 18 que é:

1 + t g h   x 1 - t g h   x = e 2 x

E então substituir x por y e resolver até encontrar o nosso y .

Passo 2

Temos que provar que:

t g h - 1 x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x  

Vamos usar para isso o método do Exemplo 3. Neste caso vamos chamar:

y = t g h - 1 x

Sendo assim:

x = t g h   y

Agora vamos precisar da tangente hiperbólica, estão lembrados?

Não? Então vamos relembrar:

t g h   y = s e n h y cosh ⁡ y

t g h   y = e y - e - y 2 e y + e - y 2

Dessa forma, temos:

t g h y = e y - e - y e y + e - y

t g h y = e y - 1 e y e y + 1 e y

Tirando o MMC:

t g h   y = e 2 y - 1 e y e 2 y + 1 e y

t g h y = e 2 y - 1 e y × e y e 2 y + 1

Sendo assim:

t g h   y = e 2 y - 1 e 2 y + 1

Agora, se:

x = t g h y

Podemos fazer que:

x = e 2 y - 1 e 2 y + 1

Multiplicando cruzado:

x e 2 y + x = e 2 y - 1

Reorganizando:

x + 1 = e 2 y - x e 2 y

Isolando e 2 y :

x + 1 = e 2 y ( 1 - x )

e 2 y = 1 + x 1 - x

Como nós precisamos do y, vamos aplicar o ln em ambos os lados:

ln ⁡ e 2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

Então:

y = t g h - 1 x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x

Passo 3

Agora vamos usar o Exercício 18, vamos relembrar:

1 + t g h   x 1 - t g h   x = e 2 x

Substituindo x por y:

1 + t g h   y 1 - t g h   y = e 2 y

Lembrando que:

x = t g h   y

Então:

1 + x 1 - x = e 2 y

Aplicando o ln:

ln ⁡ e 2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

2 y = ln ⁡ 1 + x 1 - x

Então:

y = t g h - 1 x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x

Resposta

Demonstração nos Passos

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