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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 69

Demonstre a fórmula onde m e n são números inteiros e positivos

∫ - π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 ,     s e   m ≠ n π ,     s e   m = n

Passo 1

Não vai ser tão complicado demonstrar isto, você so precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos ⁡ A cos ⁡ B = 1 2 cos ⁡ A - B + c o s ⁡ ( A + B )

Então, substituindo na integral, temos

∫ - π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m - n x + cos ⁡ m + n x d x

Vamos analisar os dois casos possíveis:

  1. Se m ≠ n , temos

    2. ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m - n x + cos ⁡ m + n x d x = 1 2 sin ⁡ m - n x m - n + sin ⁡ m + n x m + n = 0

    Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m - n ) e ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m - n x = 0 e sin ⁡ m + n x = 0

  2. Se m = n , temos

∫ - π π 1 2 cos ⁡ m - n x + cos ⁡ m + n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ 0 + cos ⁡ m + n x d x = ∫ - π π 1 2 1 + cos ⁡ m + n x d x = 1 2 x + sin ⁡ m + n x m + n - π π = 1 2 π + 0 - - π + 0 = 1 2 2 π = π

Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m + n x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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