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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 14

Demonstre a identidade

t g h   x + y = t g h   x + t g h   y 1 + t g h   x .   t g h   y

Passo 1

Falaee, belezinha??

Bom.. a questão pede para a gente demonstrar a seguinte identidade:

t g h   x + y = t g h   x + t g h   y 1 + t g h   x .   t g h   y

Muito bem, antes de começar vamos lembrar o que é tangente hiperbólica, ok?

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x

Além disso, temos que lembrar de algumas relações de seno e cosseno da soma...

s e n h   a + b = s e n h   a cosh ⁡ b + cosh ⁡ a s e n h   b

c o s h   a + b = cosh ⁡ a cosh ⁡ b + s e n h   a s e n h   b

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Se já sabemos como calcular, agora é só substituir:

tanh ⁡ x + y = s e n h   ( x + y ) cosh ⁡ ( x + y )

Lembrando das identidades:

s e n h   x + y = s e n h   x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x s e n h   y

c o s h   x + y = cosh ⁡ x cosh ⁡ y + s e n h   x s e n h   y

Substituindo em t g h   x + y

tanh ⁡ x + y = s e n h   x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y + s e n h   x s e n h   y

Vamos reorganizar a equação dividindo tudo por cosh ⁡ x . cosh ⁡ y :

tanh ⁡ x + y = s e n h   x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y + s e n h   x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y

Sendo assim:

O termo s e n h   x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y pode ser simplificado como

s e n h   x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y = s e n h   x cosh ⁡ x = tanh ⁡ x

Da mesma forma cosh ⁡ x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y

cosh ⁡ x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y = s e n h   y cosh ⁡ y = tanh ⁡ y

Já o termo cosh ⁡ x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y se reduz a

cosh ⁡ x cosh ⁡ y cosh ⁡ x cosh ⁡ y = 1

E s e n h   x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y pode ser escrito como

s e n h   x s e n h   y cosh ⁡ x cosh ⁡ y = s e n h   x cosh ⁡ x · s e n h   y cosh ⁡ y = tanh ⁡ x · tanh ⁡ y

Substituindo tudo isso em tanh ⁡ x + y , temos

tanh ⁡ x + y = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

tanh ⁡ x + y = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y

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Cada um os exercícios fornece um valor de s e n h x ou c o s h x . Utilize as definições e a identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 para determinar os valores das cinco funções hiperbólicas remanesce
Prove as identidades s e n h (x + y) = s e n h x c o s h y + c o s h x s e n h y cosh (x + y) = c o s h x c o s h y + s e n h x s e n h y Para provar que a ) s e n h (2 x) = s e n h x c o s h x + c o
Cada um os exercícios fornece um valor de s e n h x ou c o s h x . Utilize as definições e a identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 para determinar os valores das cinco funções hiperbólicas remanesce
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Encontre o valor numérico de cada expressão.(a)senh ⁡ 1 (b) senh - 1 ⁡ ( 1 )