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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 11

Demonstre a identidade:

senh ⁡ ( x + y ) = senh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x senh ⁡ y

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema temos que demonstrar a seguinte identidade

senh ⁡ ( x + y ) = senh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x senh ⁡ y

Parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema temos que lembrar das seguintes propriedades...

O senh ⁡ x (seno hiperbólico de x ) é dado por:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

E o cosh ⁡ x (cosseno hiperbólico de x ) é dado por:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Veja só! 😉

Passo 2

Então para senh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x senh ⁡ y temos...

senh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x senh ⁡ y

Que reescrevendo

e x - e - x 2 × e y + e - y 2 + e x + e - x 2 × e y - e - y 2

Perfeito, agora vamos ajeitar essa expressão.

Passo 3

Fazendo as muitiplicações, ficamos com:

( e x - e - x ) ( e y + e - y ) 4 + e x + e - x e y - e - y 4

E colocando tudo sobre o mesmo denominador, ficamos com:

( e x - e - x ) ( e y + e - y ) + e x + e - x e y - e - y 4

Desenvolvendo os produtos

e x + y + e x - y - e - x + y - e - x - y + e x + y - e x - y + e - x + y - e - x - y 4

E reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:

e x + y - e - x - y + e x + y - e - x - y 4

2 e x + y - 2 e - x - y 4

Colocando o 2 em evidência e simplificando com o denominador 4 . Dessa forma, temos

senh ⁡ x + y = e x + y - e - x + y 2

Sendo:

senh ⁡ x + y = senh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x senh ⁡ y

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Logo, comprovamos que:

senh ⁡ ( x + y ) = senh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x senh ⁡ y

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Demonstre a identidade: cosh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x cosh ⁡ y + senh ⁡ x senh ⁡ y
Demonstre a identidade s e n h2 x = 2 s e n hx ⋅ cosh ⁡ ( x )
Demonstre a identidade c o s h2 x = c o s h ²x + senh ² ⁡ ( x ) ² ²
Encontre o valor numérico de cada expressão. s e n h1 ; s e n h - 1 1 .