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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 27

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   F → × G → = G → ⋅   r o t   F → -   F → ⋅ r o t   G →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Quanta informação nesse enunciado 😵 Vou organizar de um jeito que fica fácil de entender!

Primeiro, ele dá que f é um campo escalar e F → e G → são campos vetoriais.

Segundo, ele diz que as derivadas parciais desses campos existem e são contínuas.

Terceiro, ele dá umas operações com esses campos:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

Que é a multiplicação de um campo escalar por um campo vetorial.

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

Que é o produto escalar entre dois campos vetoriais.

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

Que é o produto vetorial entre dois campos vetoriais.

Essas informações serão úteis caso alguma dessas operações apareçam na hora da demonstração, aí poderemos usar elas pra resolver esses casos.

Quarto e último, ele quer que demonstremos que

d i v   F → × G → = G → ⋅   r o t   F → -   F → ⋅ r o t   G →

Em palavras, ele quer que demonstremos que o divergente do produto vetorial entre dois campos vetoriais

d i v   F → × G →

é igual a

G → ⋅   r o t   F → -   F → ⋅ r o t   G →

Agora tudo fica mais fácil né?

Lembrando que o rotacional de algum vetor é o produto vetorial entre ∇ e o vetor!

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

∇ × F → = i → ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y + j → ∂ ∂ z F x - ∂ ∂ x F z + k → ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x

E o divergente é

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ ( a , b , c )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

E que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Então, para fazermos essa demonstração vamos pegar o divergente do produto vetorial entre dois campos vetoriais

d i v   F → × G →

E tentar chegar em

G → ⋅   r o t   F → -   F → ⋅ r o t   G →

Poderíamos fazer o inverso também, mas é mais complicado e normalmente as questões querem que a gente use o termo da esquerda para chegar no da direita.

Ok? Bora lá?

Passo 2

Primeiro, dentro do divergente temos um produto vetorial

F → × G →

Vamos supor que os campos vetoriais F → e G → são dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

G → = G 1 i → + G 2 j → + G 3 k →

Vamos calcular agora o produto vetorial entre F → e G → :

F → × G → = i → j → k → F 1 F 2 F 3 G 1 G 2 G 3

F → × G → = i → F 2 G 3 - F 3 G 2 + j → F 3 G 1 - F 1 G 3 + k → F 1 G 2 - F 2 G 1

Show?

Passo 3

Agora vamos fazer

d i v F → × G →

Que é aplicar essa operação

∇ F → × G →

Então, temos

∇ ⋅ F → × G → = ∂ ∂ x F 2 G 3 - F 3 G 2 + ∂ ∂ y F 3 G 1 - F 1 G 3 + ∂ ∂ z F 1 G 2 - F 2 G 1

E agora aplicar a regra do produto

f x ⋅ g x ' = f ' x g x + f x g ' x

Para as derivadas parciais. Sim, se você pensou que vai dar um monstro de coisas, sim está certo! 😢 Mas calma! Vamos fazer com calma que vai dar tudo certo no final!

∇ ⋅ F → × G → =

+ G 3 ∂ ∂ x F 2 + F 2 ∂ ∂ x G 3 - G 2 ∂ ∂ x F 3 - F 3 ∂ ∂ x G 2

+ G 1 ∂ ∂ y F 3 + F 3 ∂ ∂ y G 1 - G 3 ∂ ∂ y F 1 - F 1 ∂ ∂ y G 3

+ G 2 ∂ ∂ z F 1 + F 1 ∂ ∂ z G 2 - G 1 ��� ∂ z F 2 - F 2 ∂ ∂ z G 1

Agora vou agrupar por componentes semelhantes:

∇ ⋅ F → × G → =

G 1 ∂ ∂ y F 3 - ∂ ∂ z F 2   + G 2 ∂ ∂ z F 1 - ∂ ∂ x F 3 + G 3 ∂ ∂ x F 2 - ∂ ∂ y F 1

F 1 ∂ ∂ z G 2 - ∂ ∂ y G 3 + F 2 ∂ ∂ x G 3 - ∂ ∂ z G 1 + F 3 ∂ ∂ y G 1 - ∂ ∂ x G 2  

Agora ficou mais simpático 😬

Passo 4

Muito bem, vamos analisar essa coisa.

A primeira linha não te lembra algo? Seria isso?

∇ × F → = i → ∂ ∂ y F z - ∂ ∂ z F y + j → ∂ ∂ z F x - ∂ ∂ x F z + k → ∂ ∂ x F y - ∂ ∂ y F x

Aaaah, mas temos uma soma com G e não com vetores. Certíssimo! Porém, lembra o produto escalar entre dois vetores pode fazer isso acontecer? Se liga:

A → ⋅ B → = A 1 i → + A 2 j → + A 3 k → ⋅ ( B 1 i → + B 2 j → + B 3 k → )

A → ⋅ B → = A 1 + B 1 + A 2 + B 2 + A 3 + B 3

Portanto, a primeira linha é o produto escalar de G → com ∇ × F →

G → ⋅ ∇ × F →

Agora, a segunda linha também parece um rotacional, mas os termos de G → estão com os sinais trocados né? Não tem problema! Isso significa que ele foi multiplicado por - 1

Teríamos

F → ⋅ ∇ × G →

Mas como ele foi multiplicado por - 1 , ficamos com

- F → ⋅ ∇ × G →

Juntando tudo

∇ ⋅ F → × G → = G → ⋅ ∇ × F → - F → ⋅ ∇ × G →

Que é a mesma coisa que

d i v   F → × G → = G → ⋅   r o t   F → -   F → ⋅ r o t   G →

Que é exatamente a propriedade que queríamos demonstrar 😎

Resposta

A resposta é a demonstração que fizemos ao longo dos passos.

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