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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 34

Use a primeira identidade de Green (exercício 33 ) para demonstrar a segunda identidade de Green:

∬ D ( f ∇ 2 g - g ∇ 2 f ) d A = ∮ C f ∇ g - g ∇ f ⋅ n → d S

onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas.

Passo 1

Faaala, galera, tudo belê? 😊

A questão quer que a gente use a primeira identidade do Teorema de Green do exercício anterior para desenvolver a segunda identidade desse cara aí:

∬ D ( f ∇ 2 g - g ∇ 2 f ) d A = ∮ C f ∇ g - g ∇ f ⋅ n → d S

O enunciado nos lembra que as derivadas parciais de f e g existem e são contínuas, já que o Teorema de Green utiliza dessas derivadas, além de que D e C , regiões dessas integrais de linhas, satisfazem as hipóteses desse teorema.

Passo 2

Para primeira identidade de Green temos:

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Onde consideramos o campo vetorial

F → = f ∇ g

Agora vamos considerar um outro campo vetorial do tipo

G → = g ∇ f

Aplicando na primeira identidade temos:

∬ D g ∇ 2 f d A = ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Passo 3

Legal!

O próximo passo é fazer a subtração das duas equações dos passos 1 e 2 :

∬ D f ∇ 2 g d A - ∬ D g ∇ 2 f d A

∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ g ⋅ ∇ f ) d A + ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Mas sabemos que, no produto escalar entre dois vetores, a ordem não é importante, sendo assim o 3 º e 4 º termos do lado direito se cancelam!

Saca só:

∇ g ⋅ ∇ f = ∇ f ⋅ ∇ g

Então, olha só como fica:

∬ D f ∇ 2 g d A -   ∬ D g ∇ 2 f d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S

E como podemos considerar as mesmas regiões D e C , podemos unir os integrandos:

∬ D [ f ∇ 2 g - g ∇ 2 f ] d A = ∮ C f ∇ g - g ∇ f ⋅ n → d S

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∬ D [ f ∇ 2 g - g ∇ 2 f ] d A = ∮ C f ∇ g - g ∇ f ⋅ n → d S

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