Enunciado

Demonstre a identidade:

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x

Passo 1

E aí! tudo certinho? Nesse problema temos que demonstar a itentidade:

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x

Parece complicado?

Para resolver esse problema, temos que lembrar de algumas relações trigonométricas hiperbolicas básicas. Por exemplo:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

sinh ⁡ x cosh ⁡ x = tanh ⁡ x

E:

cossech ⁡ x = 1 sinh ⁡ x

Bora começar!

Passo 2

Se tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x e cotanh ⁡ x = 1 tanh ⁡ x , temos:

cotanh ⁡ x = 1 tanh ⁡ x = 1 sinh ⁡ x cosh ⁡ x

cotanh ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

cotanh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x sinh 2 ⁡ x

Substituindo em cotgh 2 ⁡ x - 1 , temos:

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cosh 2 ⁡ x sinh 2 ⁡ x - 1

Temos que deixar tudo no mesmo denominador, então multiplicamos e dividimos 1 por sinh 2 ⁡ x :

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cosh 2 ⁡ x sinh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x sinh 2 ⁡ x = cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x sinh 2 ⁡ x

Pela relação fundamental cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1 , temos:

cotgh 2 ⁡ x - 1 = 1 sinh 2 ⁡ x

Mas vimos que cossech ⁡ x = 1 sinh ⁡ x , logo, elevando os dois lados ao quadrado, temos:

cossech 2 ⁡ x = 1 sinh 2 ⁡ x

Portanto...

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

cotgh 2 ⁡ x - 1 = cossech 2 ⁡ x

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Reescreva as expressões dos exercícios em termo das exponenciais e simplifique os resultados tanto quanto for possível.
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