Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 37
Demonstre que se
Sugestão: Use ]
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado é bem direto.
Queremos demonstrar a seguinte igualdade:
Para .
Você pode pensar: “ué... é só fazer que dá certo”.
Mas caaalma hahaha, não é bem assim.
Queremos demonstrar isso pela definição.
E essa definição diz que:
Quando para todo número , existe um número tal que: se então .
Para o que o exercício pede, vamos passar por dois passos: supor um valor para e mostrar que esse funciona.
Meio abstrato né?? Então bora junto que vai dar certo!! 😉
Ah... o enunciado nos deu a seguinte dica:
Passo 2
Encontrando um valor para :
Dado , devemos encontrar um tal que
e
e pela sugestão do enunciado temos que
Passo 3
Agora, se nós pudermos encontrar uma constante positiva (para a gente encontrar um valor mínimo de ), tal que
Então teríamos
E
Podemos encontrar esse número se restringirmos a algum intervalo centrado em .
Se , então:
Sendo assim, é uma escolha adequada para essa constante positiva, e:
Isso sugere que nós temos
Passo 4
Mostrando que o sugerido funciona:
Dado que , nós temos
Se :
Então:
Exatamente como no passo anterior.
Também temos que
Então,
Assim sendo, pela definição de limite.
Resposta
Demonstração