Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 37
Demonstre que se
Sugestão: Use ]
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos juntos hoje resolver esse limite.
Aqui a gente tem que demonstrar
Quando a gente precisa demonstrar algo, normalmente nos devemos utilizar a teoria, e nesse caso deveremos utilizar a definição formal de limite. Sei que é um pouco difícil de entender ela, mas estou aqui para te ajudar.
Relembrando a definição formal:
Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número , exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende a é , e escrevemos
Se para todo número houver um número tal que
Se
Então
Basicamente a definição formal diz que, se meu está a uma distância de , então minha função estará a uma distância do seu limite .
Para o que o exercício pede, vamos passar por dois passos: supor um valor para e mostrar que esse funciona.
Passo 2
Encontrando um valor para :
Dado , devemos encontrar um tal que
e
e pela sugestão do enunciado temos que
Veja que pela definição, e estão relacionados, então o que fazemos quando provamos é encontrar a relação entre eles.
Agora, se nós pudermos encontrar uma constante positiva , tal que essa constante seja:
Então podemos reescrever:
Multiplicando ambos os termos por :
Podemos rescrever e ter:
e consequentemente, podemos novamente colocarmos que:
Podemos encontrar esse número C se restringirmos a algum intervalo centrado em .
Se , então:
Sendo assim, é uma escolha adequada para essa constante positiva, e:
Isso sugere que nós temos
Pois, como comentado, existe uma relação entre e , e dado um precisamos encontrar qual relação é essa. E como depende de qual perto estamos de , temos então uma relação entre esses valores.
Passo 3
Mostrando que o sugerido funciona:
Dado que , nós temos
Se :
, como no passo anterior.
Também temos que
Então,
Assim sendo, pela definição de limite.
Resposta
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