Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 33
Verifique que outra escolha possível de para mostrar que no exemplo $ é .
Passo 1
Fala galerinha, aqui temos que fazer uma demonstração!
No exemplo 4 apresentado na seção, mostrou-se que tomando-se . O enunciado pede agora para demonstrarmos que se tivéssemos escolhido , também mostraríamos o limite.
Lembrando a definição de limite, temos que se para todo , existir um tal que:
Ou seja, temos que mostrar que para , tomando qualquer a relação acima vai valer.
A negócio é sempre partir da inequação onde aparece o , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com
Passo 2
Temos que:
No nosso limite:
vamos reescrever a relação que deve ser satisfeita:
Agora vamos provar que essa escolha de serve para demonstrar a relação acima:
Bom, se , então
e
Assim, se , então
Tirando do módulo:
Então, temos que . Por outro lado, , de modo que . Desta forma,
Assim, se , então
Provamos assim que essa escolha para é suficiente para demonstrar o limite.
Resposta
Demonstração.