Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 66
Demonstre que para quaisquer valores e a desigualdade é verdadeira
Passo 1
Tomemos a função e sua derivada como base para demonstrar a desigualdade apresentada acima. Considerando que a função é contínua em um intervalo [a, b], ela satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio que usaremos como base para solução do problema.
Passo 2
Como conclusão do teorema do valor médio , dadas as condições acima , sabemos que deve haver pelo menos um ponto C dentro do intervalo [a, b] tal que
Para o nosso caso,
Passo 3
Como nossa função cosseno é limitada, podemos fazer o seguinte
Mas
Substituindo em temos
Se lembrarmos da função modular, poderemos reescrever a desigualdade da seguinte forma
Como o módulo da divisão é a divisão dos módulos teremos
Por fim, se passarmos multiplicando ficaremos com
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)