Demonstre, usando a definição 6, que

lim x → - 3 ⁡ 1 x + 3 4 = ∞

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para demonstrarmos que o limite é infinto usando a definição 6, assim, devemos mostrar que para todo M > 0 , existe um número δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x > M .

Passo 2

Bom, sei que parece estranho e soa um pouco “matematiquês” demais essa definição, mas vamos lá, não é tão difícil quanto parece...

O que precisamos fazer é para um número postivo qualquer denotado por M , achar um número δ que será função de M tal que para ponto próximos de x = a por uma distância menor que δ , o valor da função será maior do que M . Assim provamos que f cresce indefinidamente quando x se aproxima de a e assim o limite tende a .

Passo 3

Antes de começarmos, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar um pouco nossa tarefa: t = x + 3 . Quando x →   - 3 , t → 0 . Assim, queremos calcular

lim x → - 3 ⁡ 1 x + 3 4 = lim t → 0 ⁡ 1 t 4

Devemos mostrar então que

lim t → 0 ⁡ 1 t 4 = ∞

Passo 4

Para resolver o limite encontrado no passo 2, devemos achar δ tal que se 0 < t - 0 < δ , então f ( t ) > M . Assim, devemos achar δ tal que

se 0 < t < δ , então 1 t 4 > M

Por outro lado, 1 t 4 > M se, e somente se,

t 4 < 1 M

Desta forma,

t < 1 M 4

Assim, se tomarmos δ = 1 M 4 , temos que

se 0 < t < δ então 1 t 4 > M

De fato, se δ = 1 M 4 , então 0 < t < δ implica em 0 < t < 1 M 4 . Desta forma, temos que t 4 < 1 M e assim 1 t 4 > M .

Assim provamos que

lim t → 0 ⁡ 1 t 4 = ∞

Desta forma provamos o que foi pedido.

Resposta

Demonstração.

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