Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 33
Verifique que outra escolha possível de para mostrar que no exemplo 4 é .
Passo 1
Opa, bora lá! Devemos demonstrar que:
No exemplo 4 apresentado na seção, mostrou-se que tomando-se . O enunciado pede agora para demonstrarmos que se tivéssemos escolhido , também mostraríamos o limite.
Lembrando a definição de limite, temos que se para todo , existir um tal que . Ou seja, temos que mostrar que para , tomando qualquer a relação acima vai valer.
Passo 2
Antes de qualquer coisa, vamos reescrever a relação que deve ser satisfeita:
Agora vamos provar que essa escolha de serve para demonstrar a relação acima:
Bom, se , então e . Assim, se , então . Assim,
Então, temos que . Por outro lado, , de modo que . Desta forma,
Assim, se , então
Provamos assim que essa escolha para é suficiente para demonstrar o limite.
Resposta
Demonstração.