Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

O ponto médio da hipotenusa de qualquer triângulo retângulo é equidistante dos três vértices desse triângulo.

Passo 1

Para começar, vamos imaginar um triângulo retângulo cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,0). O ponto médio M da hipotenusa BC é dado por:

x M = x B + x C 2 = a 2

x M = y B + y C 2 = b 2

Vamos calcular agora a distância do ponto P até cada um dos vértices:

d M A ² = a 2 - 0 2 + b 2 - 0 2 = a 2 4 + b 2 4

d M B ² = a 2 - 0 2 + b 2 - b 2 = a 2 4 + b 2 4 - b 2 + b 2 = a 2 4 + b 2 4

d P C ² = a 2 - a 2 + b 2 - 0 2 = a 2 4 - a 2 + a 2 + b 2 4 = a 2 4 + b 2 4

Ou seja,

d M A ² = d M B ² = d M C ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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