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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 62

Nos Exercícios de 61 a 66, use Geometria Analítica para provar o teorema dado a partir da Geometria Plana.

O ponto médio da hipotenusa de qualquer triângulo retângulo é equidistante dos três vértices desse triângulo.

Passo 1

Para começar, vamos imaginar um triângulo retângulo cujos vértices são A(0,0), B (0,b), C (a,0). O ponto médio M da hipotenusa BC é dado por:

x M = x B + x C 2 = a 2

x M = y B + y C 2 = b 2

Vamos calcular agora a distância do ponto P até cada um dos vértices:

d M A ² = a 2 - 0 2 + b 2 - 0 2 = a 2 4 + b 2 4

d M B ² = a 2 - 0 2 + b 2 - b 2 = a 2 4 + b 2 4 - b 2 + b 2 = a 2 4 + b 2 4

d P C ² = a 2 - a 2 + b 2 - 0 2 = a 2 4 - a 2 + a 2 + b 2 4 = a 2 4 + b 2 4

Ou seja,

d M A ² = d M B ² = d M C ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Escreva equações da reta de vetor diretor ( 1,1 , 0 ) e concorrente com as retas x = 2 y = 3 z e ( x , y , z )=( 4,1 - λ ,λ ) .
Escreva equações paramétricas da reta r , perpendicular às retas s e t e que passa pela intersecção das mesmas. Dados: ⎧ x=1+α⎧ s⎢ y=- α ⎢ e ⎩ z=2 +α⎩ ⎧x=2- β⎧ t ⎢y=- 1+β ⎢ ⎩z=1 +β⎩
São dadas as retas: ⎧ x=1+λ⎧ r⎢ y= 1+ 2 λ ⎢ e ⎩ z=2- λ⎩ ⎧ x= 3- α⎧ s⎢ y= 4- α ⎢ ⎩z= - 1 +2 α⎩ Mostre que r e s encontram-se num ponto P . Dê equações da reta t , que passa por P e é perpendicular a r
Determine equações da reta que passa por ( - 2,0 , 1 ) , cujo vetor diretor é ortogonal a ( 1 , - 2,1 ) e que seja concorrente com x - 2 3= y + 1 - 4 = z - 3 3 .
Ache as equações da reta r que passa pelo ponto B=( 3,1 , 2 ) e é concorrente com as retas s :x + 1 1=y + 2 2 = z - 5 - 2 e t :x - 4 1=y - 1 - 1 = z - 4 - 1 .