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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 40

A densidade linear de uma barra num ponto a x   m de um extremo é 9 + x 2   kg/m . Ache a massa e o centro de massa da barra, sabendo que ela tem 3   m .

Passo 1

Para resolver essa questão, a primeira coisa a se fazer é lembrar como fazemos o cálculo do centro de massa pedido.

Um barra com L   m de comprimento tem seu extremo esquerdo na origem e ρ x   kg/m é a densidade linear no ponto a x   cm da origem, onde ρ é contínua em [ 0 , L ] . O momento de massa da barra em relação à origem é M 0   kg-m , onde:

M 0 = ∫ 0 L x ρ x d x

O centro de massa da barra está em um ponto x - tal que se M   kg for a massa total da barra, então x - M = M 0 . Sendo assim,

x - = M M 0 = ∫ 0 L x ρ x d x ∫ 0 L ρ x d x

Utilizando os dados do enunciado, temos L = 3   m e ρ x = 9 + x 2 . Logo,

x - = ∫ 0 3 x 9 + x 2 d x ∫ 0 3 9 + x 2 d x

Passo 2

Vamos começar calculando ∫ 0 3 x x 2 + 9 d x . Para isso, vamos fazer a substituição x 2 + 9 = u , derivando nós temos 2 x d x = d u   →       x d x = d u 2 .

Trocando os limites de integração, temos o seguinte:

x = 0     →       u = 0 + 9 = 9 x = 3     →       u =   9 + 9 = 18

A integral na variável u será:

∫ 0 3 x x 2 + 9 d x = 1 2 ∫ 9 18 u d u = 1 2 ∫ 9 18 u 1 2 d u = 1 2 u 3 2 3 2 9 18 = u 3 3 9 18

∫ 0 3 x x 2 + 9 d x = 1 3 18 3 - 9 3 = 1 3 18 18 - 3 6 = 1 3 18 ⋅ 3 2 - 27 = 18 2 - 9

A primeira já foi.

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral que nos dá o resultado da massa, ou seja,

∫ 0 3 x 2 + 9 d x

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão x 2 + 9 = x 2 + 3 2 , isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 tan ⁡ θ .

Façamos então a substituição:

x = 3 tan ⁡ θ d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ      

Dessa forma, ( x ) 2 = 9 tan 2 ⁡ θ     →     ( x ) 2 + 9 = 9 tan 2 ⁡ θ + 9 = 9 ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) = 9 sec 2 ⁡ θ .

Agora vamos trocar a variável da integral, mas, antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 0 → 0 = 3 tan ⁡ θ →       θ = 0 x = 3 → 3 = 3 tan ⁡ θ →         θ = π 4

Substituindo tudo na integral e desenvolvendo, temos:

∫ 0 3 x 2 + 9 d x = ∫ 0 π 4 3 2 sec 2 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ = 9 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ d θ

Agora, para resolver essa integral, nós podemos utilizar integração por partes ou a fórmula de redução:

∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x tan ⁡ x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x           para       n = 3

Ficamos então, com:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Dessa forma, utilizando a integral ∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ + C , temos:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ | sec ⁡ θ + tan ⁡ θ | 2 + C

Prontinho!

Agora vamos resolver a definida substituindo a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

9 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ d θ = 9 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 2 0 π 4

= 9 2 sec ⁡ π 4 tan ⁡ π 4 + ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tan ⁡ π 4 - 0

= 9 2 2 2 ⋅ 1 + ln ⁡ 2 2 + 1 = 9 2 2 + ln ⁡ 2 + 1

Pronto! A massa é M = 9 2 2 + ln ⁡ 2 + 1   kg .

Passo 4

Agora nós substituímos tudo na fórmula do passo 1.

x - = ∫ 0 3 x 9 + x 2 d x ∫ 0 3 9 + x 2 d x = 18 2 - 9 9 2 2 + ln ⁡ 2 + 1 = 2 ( 9 ( 2 2 - 1 ) ) 9 2 + ln ⁡ 2 + 1 = 2 ( 2 2 - 1 ) 2 + ln ⁡ 2 + 1

x - = 2 ( 2 2 - 1 ) 2 + ln ⁡ 2 + 1   m

Resposta

O centro de massa está a 2 ( 2 2 - 1 ) 2 + ln ⁡ 2 + 1   m do final e a massa é 9 2 2 + ln ⁡ 2 + 1   kg .

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