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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 30

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 3 em torno de B C .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 3 , que é delimitada pela função y = x 4 e y = x . Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta y = 1 . Assim, a área do disco é igual a:

A x = π R 2 - π r 2 = π 1 - x 2 - 1 - x 4 2 = π 1 - 2 x + x 2 - 1 - 2 x 1 4 + x 1 2

A x = π [ x 2 - 2 x - x 1 2 + 2 x 1 4 ]

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π [ x 2 - 2 x - x 1 2 + 2 x 1 4 ] d x = π ∫ [ x 2 - 2 x - x 1 2 + 2 x 1 4 ] d x = π x 3 3 - x 2 - 2 x 3 2 3 + 8 x 5 4 5 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 x 2 - 2 x - x 1 2 + 2 x 1 4 d y = π x 3 3 - x 2 - 2 x 3 2 3 + 8 x 5 4 5 0 1

V = π 1 3 - 1 - 2 3 + 8 5 = 4 π 1 5

Resposta

O resultado final é:

V = 4 π 1 5

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec 2 ⁡ x , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 4 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 ⁡ x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = c o s x e pelas retas y = 1 e x = π 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = s e n x e y = c o s x para 0 ≤ x ≤ π 4 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido de revolução gerado.