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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 26

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 2 em torno de B C .

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá a seguinte figura:

E pede pra a gente encontrar o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta R 2 em torno de B C . Pra isso vamos usar a seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 2 , que é delimitada pela função y = x 4   . Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta y = 1 . Assim, a área do disco é igual a:

A x = π R 2 = π 1 - x 4 2 = π 1 - 2 x 1 4 + x 1 2

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π ( 1 - 2 x 1 4 + x 1 2 ) d x = π ∫ 1 - 2 x 1 4 + x 1 2 d x = π x - 8 x 5 4 5 + 2 x 3 2 3 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 1 - 2 x 1 4 + x 1 2 d x = π x - 8 x 5 4 5 + 2 x 3 2 3 0 1

V = π 1 - 8 5 + 2 3 = π 15

O resultado final é:

V = π 15

Resposta

V = π 15

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