Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 23
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: em torno de
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume gerado pela rotação ao redor da seguinte reta:
em torno de
Na seguinte figura:
Para isso, devemos saber que o volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:
Agora vamos lá!! 😉
Passo 2
Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região , que é delimitada pela função .
Esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação.
No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno da reta .
Assim, a área do disco é igual a:
Passo 3
Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Logo,
Passo 4
Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1.
Nossos limites de integração aqui serão e pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho.
Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:
Entendeu direitinho? Responde aee 😉
Resposta
O resultado final é: