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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 37

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região à direita do eixo y , limitada pela curva y = x 9 - x 2 4 e pelo eixo x , em torno do eixo x .

Passo 1

Pessoal, como vai ser a rotação em torno do eixo x e temos uma função na variável x , está perfeito para usarmos o método dos discos e arruelas, ok?

Agora, para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o volume sólido obtido pela rotação da curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

V = ∫ a b π f x 2 d x

Essa é a fórmula.

Passo 2

Precisamos do intervalo de integração para montar a integral. Para isso, vamos ver onde essa curva corta o eixo x fazendo f x = 0 .

x 9 - x 2 4 = 0   → x = 0         ou         x = ± 3

Com isso temos x = 0 e x = 3 , pois estamos à direita do eixo y . Dessa forma, o intervalo de integração será [ 0 ,   3 ] e o volume será dado por:

V = ∫ 0 3 π x 9 - x 2 4 2 d x = π ∫ 0 3 x 2 9 - x 2 d x

Passo 3

Podemos resolver essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta questão, nós vamos resolver a definida, no caminho, trocando os limites de integração, ok? Agora, para resolver, vamos precisar saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos a expressão 9 - x 2 = 3 2 - x 2 , isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 3 sen ⁡ θ .

Passo 4

Façamos então a substituição:

x = 3 sen ⁡ θ d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - x 2 = - 9 sen 2 ⁡ θ     →     9 - x 2 = 9 - 9 sen 2 ⁡ θ = 9 1 - sen 2 ⁡ θ ⏞ cos 2 ⁡ θ = 3 2 cos 2 ⁡ θ .

Passo 5

Agora vamos trocar a variável da integral, mas antes vamos obter os limites de integração na variável θ . Seja então:

x = 0 → 0 = 3 sen ⁡ θ →     θ = 0 x = 3 → 3 = 3 sen ⁡ θ → θ = π 2

Substituindo tudo na integral, ficamos com:

V = π ∫ 0 3 x 2 9 - x 2 d x = π ∫ 0 π 2 9 sen 2 ⁡ θ 3 2 cos 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ = 81 π ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Aqui nós vamos utilizar a relação sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ   →     sen ⁡ 2 θ 2 = sen ⁡ θ cos ⁡ θ . Dessa forma,

81 π ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ d θ = 81 π ∫ 0 π 2 sen ⁡ 2 θ 2 2 d θ = 81 π 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 θ d θ

Agora utilizamos a relação sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2       x = 2 θ . Ficamos com:

81 π 4 ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ 2 θ d θ = 81 π 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ 2 d θ = 81 π 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Prontinho!

Passo 6

Agora vamos resolver a definida.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

V = π ∫ 0 3 x 2 9 - x 2 d x = 81 π 8 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ = 81 π 8 θ - sen ⁡ 4 θ 4 0 π 2

V = 81 π 8 π 2 - sen ⁡ 4 ⋅ π 2 4 - 0 - sen ⁡ 4 ⋅ 0 4 = 81 π 8 π 2 - sen ⁡ 2 π 4 = 81 π 8 π 2 = 81 π 2 16   u . v

Logo, o volume é 81 π 2 16   u . v

Resposta

V = 81 π 2 16   u . v

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