Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 19

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: em torno de .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região , que é um segmento de reta indo do ponto ao ponto . Antes de tudo, vamos encontrar essa função.

Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta. Ela pode ser dada como

Já que temos dois pontos, podemos definir facilmente uma reta, não é? Vamos substituir cada ponto de uma vez. Primeiro o ponto

Sabemos o valor do termo independente da equação! Precisamos encontrar o coeficiente angular agora. Vamos substituir o segundo ponto:

Assim, temos que a equação da reta é ! Voltando para a questão, esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno do eixo , com o raio sendo a nossa função . Assim, temos que

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Logo,

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão e pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

Resposta

O resultado final é:

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Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .A reta x = 4

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O B C em torno da reta A C

Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 Ao redor do eixo x

Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .O eixo y

Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 Ao redor da reta y = 2