Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 19
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: em torno de .
Passo 1
O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:
Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região , que é um segmento de reta indo do ponto ao ponto . Antes de tudo, vamos encontrar essa função.
Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta. Ela pode ser dada como
Já que temos dois pontos, podemos definir facilmente uma reta, não é? Vamos substituir cada ponto de uma vez. Primeiro o ponto
Sabemos o valor do termo independente da equação! Precisamos encontrar o coeficiente angular agora. Vamos substituir o segundo ponto:
Assim, temos que a equação da reta é ! Voltando para a questão, esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno do eixo , com o raio sendo a nossa função . Assim, temos que
Passo 2
Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Logo,
Passo 3
Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão e pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:
Resposta
O resultado final é: