Dentre as infinitas retas tangentes à curva y = -sen(x) que passam pela origem, existe uma que tem a maior inclinação. Use o método de Newton para encontrar a inclinação daquela reta com precisão de seis casas decimais.

Passo 1

Fala meus queridões e queridonas e queridones!

Nessa questão temos a seguinte curva

f x = - s e n x

E queremos encontrar uma reta tangente a curva que passa pela origem que possua a maior inclinação possível.

Temos que f x = - sen ⁡ x então sua derivada é f ' x = - cos ⁡ x .

Em x = a , a inclinação da reta tangente é f ' a = - cos ⁡ a

A equação de uma reta é dada por:

m = y - y 0 x - x 0

A equação de uma reta que passe pela origem 0,0 e que passe pelo ponto a ,   f a é

m = f a - 0 a - 0

Sendo f a = - s e n a , logo:

m = - s e n a a

E m é a inclinação da reta. Como ela é tangente a função f x , teremos que essa inclinação é igual a sua derivada em x = a , logo:

- cos ⁡ a = - sen ⁡ a a

tg ⁡ a = a

O método de Newton é usado para encontrar a raiz de uma função

f x = 0

Ele é um método iterativo, onde a partir de um chute inicial x 1 você encontrar novos valores para a raiz a partir da seguinte fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Passo 2

Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula, com

g x = tg ⁡ x - x

, então a fórmula fica:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

Vamos agora precisar de g ' x , vamos calcular então!!

Vamos calcular g ' x :

g ' x = tg ⁡ x - x '

g ' x = sec 2 ⁡ x - x 1 - 1

g ' x = sec 2 ⁡ x - 1

Passo 3

Pronto, agora que temos g ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - g x n g ' x n

x n + 1 = x n - tg ⁡ x n - x n sec 2 ⁡ x n - 1

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo, vamos usar x 1 = 4,5 .

Você pode pensar, por que não procurar por valores maiores que 2 π ? Percebe que queremos a máxima inclinação... Valores mais distantes da origem, terão uma inclinação menor. O de maior inclinação é aquele que está próximo do primeiro pico com x e y positivos.

x 2 = x 1 - tg ⁡ x 1 - x 1 sec 2 ⁡ x 1 - 1

Usando x 1 = 4,5 , teremos:

x 2 ≈ 4,493614

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - tg ⁡ x 2 - x 2 sec 2 ⁡ x 2 - 1 ≈ 4,493410

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - tg ⁡ x 3 - x 3 sec 2 ⁡ x 3 - 1 ≈ 4,493409

Agora com x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - tg ⁡ x 4 - x 4 sec 2 ⁡ x 4 - 1 ≈ 4,493409

Vamos agora calcular f ' 4,493409 para achar o valor da maior inclinação da reta:

f ' 4,493409 ≈ 0,217234

A inclinação da reta com a máxima inclinação é f ' 4,493409 ≈ 0,217234 .

Resposta

A inclinação da reta com a máxima inclinação é f ' 4,493409 ≈ 0,217234 .

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