Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a reta A D de forma que o comprimento total L de fios ligando P aos pontos A , B e C seja minimizado (veja a figura). Expresse L como uma função de x = |A P| e use os gráficos de L e dL / dx para estimar o valor mínimo de L .

Passo 1

Fala aí, tudo certo com você?

Esse exercício dá para gente a imagem

E fala de um ponto   P   localizado sobre a reta A D de forma que o comprimento total   L   de fios ligando   P aos pontos A , B e C seja minimizado.

Ele quer que a gente expresse L como uma função de x = A P e use os gráficos de L e d L d x para estimar o valor mínimo de L .

Para fazer tudo isso teremos que encontrar uma expressão que uma todos os pontos dados e assim encontrar o comprimento total do fio. Depois isso faremos sua derivada igualada a zero para minimizar seu valor.

Chamaremos o comprimento A P de x para facilitar nossa resolução.

Passo 2

Já chamamos A P de x , agora, para encontrarmos L , precisamos de B P e C P , e os encontraremos por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras nos triângulos P B D   e P C D .

Veja:

Nos dois triângulos precisamos da altura P D para calcularmos, então:

A D = A P + P D → 5 = x + P D     → P D = 5 - x

∆ P B D :

P B 2 = 5 - x 2 + 2 2

P B = 5 - x 2 + 4

∆ P C D :

P C 2 = 5 - x 2 + 3 2

P C = 5 - x 2 + 9

Agora já podemos substituir tudo em L !

L = x + 5 - x 2 + 4 + 5 - x 2 + 9

E essa é a expressão que nos dá o comprimento total do fio.

Passo 3

Agora vamos nos preocupar em minimizar seu valor, fazendo sua derivada.

Para isso usaremos a regra da cadeia nos termos que estão dentro da raiz quadrada. Assim a derivada será dada por:

L ' x = 1 + x - 5 x 2 - 10 x + 29 + x - 5 x 2 - 10 x + 34

E para minimizar seu valor, faremos:

1 + x - 5 x 2 - 10 x + 29 + x - 5 x 2 - 10 x + 34 = 0

E como essa é uma expressão bem difícil de ser resolvida, faremos de forma computacional.

Passo 4

Esboçando os gráficos de L e L ' ( x ) , teremos:

Analisando os dois gráficos vemos que x ocorre entre 3,4 e 3,6 . Se calcularmos, acontece exatamente em 3,59 , então o valor mínimo de L é:

L 3,59 = 9,35   m .

Resposta

Valor mínimo de L : 9,35   m .

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