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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 79

Encontre a área máxima do retângulo que pode ser circunscrito em torno de um dado retângulo com comprimento L   e largura W . [Sugestão: Expresse a área como uma função do ângulo θ .]

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar a área máxima do retângulo que pode ser circunscrito em torno de um dado retângulo com comprimento L   e largura W .

Além disso, ela nos dá a sugestão de expressar a área como uma função do ângulo θ .

Assim, esboçando os dados do enunciado num desenho temos:

Perceba que agora podemos determinar a área desse retângulo circunscrito em função de θ .

E a área que queremos maximizar será dada por:

A ( θ ) = ( a + b ) ( c + d )

E para achar seu valor máximo, faremos sua derivada igualada a zero. Assim, estamos procurando:

A ' θ = 0

Vem comigo que te mostro tudo isso no passo a passo.

Passo 2

Como nossa fórmula ainda depende de muitas variáveis, vamos usar os recursos dados pela figura para isolá-las.

No pequeno triângulo com lados a e c e hipotenusa W temos:

sen ⁡ θ = a W   → a = sen ⁡ θ W

cos ⁡ θ = c W   → c = cos ⁡ θ W

No triângulo com lados b ,   d e hipotenusa L temos:

sen ⁡ θ = d L   → d = sen ⁡ θ L

cos ⁡ θ = b L   → b = cos ⁡ θ L

Substituindo em A θ :

A θ = sen ⁡ θ W + cos ⁡ θ L   cos ⁡ θ W + sen ⁡ θ L

E fazendo as multiplicações distributivas, ficamos com:

A θ = W 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + W L sen 2 ⁡ θ + W L cos 2 ⁡ θ + L ²  sen ⁡ θ cos ⁡ θ  

Ou melhor:

A θ = W L sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ   + ( L 2 + W 2 ) 1 2 2  sen ⁡ θ cos ⁡ θ  

E como sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , podemos escrever:

A θ = L W + 1 2 L 2 + W 2 sen ⁡ 2 θ

Com:

  0 ≤ θ ≤ π 2

Perfeito.

Passo 3

Essa expressão mostra, sem cálculos, que o máximo valor de A θ ocorre quando:

sen ⁡ 2 θ = 1   → 2 θ = π 2   →   θ = π 4

Conseguimos ver isso porque o seno de π 2 = 1 , que é o valor máximo que a função pode atingir.

Então a máxima área é:

A π 4 = L W + 1 2 L 2 + W 2 = 1 2 L 2 + 2 L W + W 2 = 1 2 ( L + W ) ²

Resposta

Área máxima: 1 2 ( L + W ) ²

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