Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 35
Encontre todos os valores de nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.
; passa pela origem.
Passo 1
Beleza, vamos achar qual a reta que passa pelo ponto , que é a origem, aqui. Para isso, vamos usar a seguinte equação da reta e perceber que, se ela é tangente à curva , a inclinação dela deve ser igual à derivada da curva no ponto em que elas se tocam:
Como queremos que passe pelo ponto , o coeficiente linear dessa reta deve ser :
Onde é a derivada da curva num ponto arbitrário , que é o ponto onde a reta será tangente à curva, ou seja, onde a reta e a curva se tocam, logo:
Vamos derivar usando a regra do quociente:
No ponto :
Substituindo na equação da reta:
Essa é a equação da reta que passa pelo ponto e também é tangente à , em um ponto , que iremos descobrir qual(is) é(são).
Passo 2
Como queremos que o coeficiente linear dessa reta seja . Na reta:
O coeficiente linear é a parte sem o :
Igualando ele a :
Passo 3
Agora, queremos saber quando que:
Bom, esses e pertencem tanto à reta quanto à curva, quando . Com isso, podemos voltar na curva e substituir esse ponto:
Quando :
Se a gente iguala os dois que achamos:
Com isso, finalmente chegamos ao ponto ao longo de em que a reta tangente à essa curva nesse ponto também passa em . Ufa!