Derive f e encontre o domínio de f

f(x) = ln(x^2 - 2x)

Passo 1

Fala pessoal,

Nessa questão temos a seguinte função f

f x = ln ⁡ x 2 - 2 x

Aí temos que deriva-la. Podemos ver que essa função é composta por duas funções, uma dentro da outra que são:

f x = ln ⁡ x

g x = x 2 - 2 x

Dessa forma, usaremos a regra da cadeia que diz que:

f g x ' = f ' g x g ' x

Ou seja, vamos derivando de fora para dentro.

Por fim, devemos encontrar o domínio da função f .

Como f se trata de um logaritmo, sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo e maior do que zero, vamos usar isso para definir o nosso domínio de f .

Passo 2

Primeiramente, calcularemos a derivada de f , para tal, usaremos a regra da cadeia.

f ' x = 1 x 2 - 2 x ⋅ ( 2 x - 2 )

f ' x = 2 x - 2 x 2 - 2 x

Passo 3

Agora, precisamos calcular o domínio da nossa f , para isso, necetissamos atender uma condição

D o m f :   x 2 - 2 x > 0

E resolvendo a inequação

x 2 - 2 x > 0

x x - 2 > 0

Isso é positivo se ambos os fatores são positivos, logo:

x > 0

x - 2 > 0

x > 2

Isso ocorre se x > 2 .

Ou se ambos os fatores são negativos, logo:

x < 0

x - 2 < 0

x < 2

Isso ocorre se x < 0 .

Então podemos escrever o domínio como

D o m f = - ∞ , 0 ⋃ ( 2 , ∞ )

Resposta

f ' x = 2 x - 2 x 2 - 2 x

D o m f = - ∞ , 0 ⋃ ( 2 , ∞ )

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