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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 26

Determine as derivadas das funções

s = s e n ((3 pi t)/(2)) + cos ((3 pi t)/(2))

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h (r) = (f @ g) (r) = f (g (r))

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y // d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

(d y)/(d r) = h^' (r) = f^' (g (r)) * g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos analisar primeiramente a derivada da função s e n ( (3 pi t)/(2) ) . Se fizermos u = (3 pi t)/(2) , temos:

(d u)/(d t) = (3 pi)/(2)

Derivando s e n ( u ) , teremos:

[s e n (u)]^' = cos (u) * u^' = cos (u) * (3 pi)/(2) = (3 pi)/(2) * cos (3 pi t)/(2)

Portanto,

[s e n ((3 pi)/(2))]^' = (3 pi)/(2) * cos ((3 pi t)/(2))

Passo 3

Vamos repetir o procedimento para a função c o s ( (3 pi t)/(2) ) . Se fizermos u = (3 pi t)/(2) , temos:

(d u)/(d t) = (3 pi)/(2)

Derivando cos u , teremos:

[cos u]^' = - s e n (u) * u^' = - s e n (u) * (3 pi)/(2) = - (3 pi)/(2) * s e n ((3 pi t)/(2))

Portanto,

[cos (3 pi t)/(2)]^' = - (3 pi)/(2) * s e n ((3 pi t)/(2))

Passo 4

Portanto, a derivada da função s é:

s^' = (3 pi)/(2) cos ((3 pi t)/(2)) - (3 pi)/(2) s e n ((3 pi t)/(2))

Resposta

s^' = (3 pi)/(2) cos ((3 pi t)/(2)) - (3 pi)/(2) s e n ((3 pi t)/(2))

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