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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 25

Determine as derivadas das funções

s = (4)/(3 pi) s e n (3 t) + (4)/(5 pi) c o s ( 5 t )

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h (r) = (f @ g) (r) = f (g (r))

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y // d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

(d y)/(d r) = h^' (r) = f^' (g (r)) * g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos analisar primeiramente a derivada da função s e n ( 3 t ) . Se fizermos u = 3 t , temos:

(d u)/(d t) = 3

Derivando s e n ( u ) , teremos:

[s e n (u)]^' = cos (u) * u^' = cos (u) * 3 = 3 * cos 3 t

Portanto,

[(4)/(3 pi) s e n (3 t)]^' = (4)/(3 pi) * 3 * cos (3 t) = (4)/(pi) c o s ( 3 t )

Passo 3

Vamos repetir o procedimento para a função c o s ( 5 t ) . Se fizermos u = 5 t , temos:

(d u)/(d t) = 5

Derivando cos u , teremos:

[cos u]^' = - s e n (u) * u^' = - s e n (u) * 5 = - 5 * s e n ( 5 t )

Portanto,

[(4)/(5 pi) cos 5 t]^' = (4)/(5 pi) * - 5 * s e n (5 t) = - (4)/(pi) s e n ( 5 t )

Passo 4

Portanto, a derivada da função s é:

s^' = (4)/(pi) c o s ( 3 t ) - (4)/(pi) s e n ( 5 t )

Resposta

s^' = (4)/(pi) c o s ( 3 t ) - (4)/(pi) s e n ( 5 t )

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