Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado.

x = cos(πt)

y = sen(πt)

1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Eai pessoal. Bora resolver uma questãozinha? Então vamos entender o que se pede e cmo resolver!

Nosso objetivo é determinar a equação cartesiana de uma curva parametrizada pelas seguintes equações x = cos ⁡ π t e y = sen ⁡ π t . Além disso, deseja-se esboçar a curva no plano cartesiano e indicar a direção na qual a curva é traçada à medida que o parâmetro t varia.

E o que podemos fazer para resolver?

  1. Identificar as equações paramétricas.
  2. Eliminar o parâmetro θ como a identidade trigonométrica

s e n 2 θ + c o s 2   θ = 1

Fazer o esboço e analisar a direção a trajetória a partir do intervalo dado ( 1 ≤ t ≤ 2 ) .

Vamos começar!

Passo 2

Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:

c o s 2   θ + s e n 2 θ = 1

Sendo θ = π t

cos 2 ⁡ π t + sen 2 ⁡ π t = 1

Temos x = s e n   π t e y = cos ⁡ π t   com essa identidade, obtemos:

x 2 + y 2 = 1

Que é a equação de uma circunferênciacentrada na origem, com raio 1 .

Passo 3

Mas, temos que ficar atentos ao intervalo de parametrização, que é

1 ≤ t ≤ 2

Assim, quando t = 1

x = cos ⁡ π = - 1

y = sen ⁡ π = 0

E quando t = 2 :

x = cos ⁡ 2 π = 1

y = sen ⁡ 2 π = 0

Então nossa partícula começa sua trajetória no ponto P i = ( - 1,0 ) e termina no ponto P f = ( 1,0 ) , o que significa que ela tá se movendo no sentido anti-horário ao longo da circunferência e na real, não anda a circunferência inteira, somente a metade de baixo dela, pra ir do P i até o P f , sacou?

Resposta

A partícula se move no sentido anti-horário ao longo da metade inferior da circunferência

x 2 + y 2 = 1

Do ponto   P i = ( - 1,0 ) até o ponto P f = ( 1,0 ) .

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