Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 19
Descreva o movimento de uma partícula com posição quando varia no intervalo dado.
Passo 1
Eai pessoal. Bora resolver uma questãozinha? Então vamos entender o que se pede e cmo resolver!
Nosso objetivo é determinar a equação cartesiana de uma curva parametrizada pelas seguintes equações e . Além disso, deseja-se esboçar a curva no plano cartesiano e indicar a direção na qual a curva é traçada à medida que o parâmetro varia.
E o que podemos fazer para resolver?
- Identificar as equações paramétricas.
- Eliminar o parâmetro como a identidade trigonométrica
Fazer o esboço e analisar a direção a trajetória a partir do intervalo dado .
Vamos começar!
Passo 2
Para “isolar” o parâmetro no caso em que temos seno e cosseno, usamos a relação fundamental da trigonometria:
Sendo
Temos e com essa identidade, obtemos:
Que é a equação de uma circunferênciacentrada na origem, com raio .
Passo 3
Mas, temos que ficar atentos ao intervalo de parametrização, que é
Assim, quando
E quando :
Então nossa partícula começa sua trajetória no ponto e termina no ponto , o que significa que ela tá se movendo no sentido anti-horário ao longo da circunferência e na real, não anda a circunferência inteira, somente a metade de baixo dela, pra ir do até o , sacou?
Resposta
A partícula se move no sentido anti-horário ao longo da metade inferior da circunferência
Do ponto até o ponto .