Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.1 - Ex. 29
Encontre equações paramétricas para o semicírculo
utilizando como parâmetro o coeficiente angular da tangente da curva em .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início, notamos que a equação dada é a equação do círculo com o raio . O parâmetro t é dado como a derivada da variável y em relação à variável x. Para que o parâmetro t apareça na equação do círculo, vamos diferenciar a equação do círculo em relação à variável x. Como a variável depende da variável , então diferenciamos usando a regra da cadeia (primeiro, diferenciamos a expressão quadrática e depois seu argumento em relação à variável ).
Desenvolvendo os termos
Com isso, nós temos que
Pelas condições do problema, sabemos que representa o parâmetro t. Incluindo o parâmetro na equação (1), obtemos:
Com isso, temos o seguinte resultado
Ao escrever a equação cartesiana em uma equação paramétrica, a variável x não deve depender da variável y (e vice-versa). Portanto, precisamos eliminar uma das variáveis da equação anterior.
Como fazer para que a variável y dependa apenas do parâmetro t? Como eliminar a variável x? É isso que devemos responder nos próximos tópicos 😊.
Passo 2
Se incluirmos em vez de na equação do círculo, obtemos:
Colocando em evidência,
Com isso,
E portanto,
A constante representa o raio, portanto . Além disso, sabemos pelas condições da tarefa que é um número positivo, portanto, da equação anterior, consideramos o caso com um sinal positivo (porque a raiz é sempre não negativa).
Passo 3
Se incluirmos a variável y (expressão (3)) na expressão (2), obtemos a variável x dependendo do parâmetro t:
Expandindo o termo de
As variáveis e contêm a expressão em seu denominador. Como é sempre estritamente maior que , não há condição no denominador e na expressão sob uma raiz par. Portanto, o parâmetro pode assumir qualquer número real.
A equação do círculo na notação paramétrica é dada por: