Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva

23. a metade inferior da parábola x - 1 = y^2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos desenhar uma parábola

x = y 2 + 1     ( 1 )

no sistema de coordenadas cartesianas.

Como na parábola (1), x depende da variável y, então a parábola será direcionada ao longo do eixo x. Para desenhar a parábola (1), vemos pela equação que o vértice estará localizado em ( 1,0 ) (por causa de + 1 em y 2 + 1 ). Com isso obtemos o gráfico da parábola:

Passo 2

Pelas condições da tarefa, sabemos que precisamos apenas da equação paramétrica da parábola localizada abaixo do eixo x (a metade inferior da parábola). Quando a parábola está abaixo do eixo x , então y assume valores negativos. Portanto,

y ≤ 0

Escrevemos a equação da metade inferior da parábola (1) como:

x = y 2 + 1 ,     y ≤ 0     ( 2 )

Como x depende de y , podemos declarar y com o parâmetro t , ou seja,

y = t

y assume valores menores ou iguais a 0 , e então t também assume valores menores ou iguais a 0 :

t ≤ 0

Então, na equação (2), incluímos t em vez de y :

x = t 2 + 1 ,     t ≤ 0

Nossa parametrização fica do seguinte tipo

x = t 2 + 1 ,   y = t ,     t ≤ 0

Resposta

x = t 2 + 1 ,   y = t ,     t ≤ 0

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