Enunciado

Descreve o movimento de uma partícula com posição ( x ,   y ) quando t varia no intervalo dado.

x = 2   s e n   t ,             y = 3 cos ⁡ t ,           0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

O problema fornece as coordenadas x e y se uma partícula como função do tempo:

x = 2   s e n   t               e             y = 3 cos ⁡ t

E devemos descrever qual o movimento de uma partícula que segue essa equação que descreve o seu movimento, dentro do intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π .

O que a gente vai fazer aqui para conseguir descrever o que acontece, é colocar a equação parametrizada em coordenadas cartesianas, a partir disso poderemos observar se obtemos uma equação de uma curva conhecida, como elipses, circunferências, parábolas, etc.

Para essa questão, o que vamos fazer para realizar essa transformação entre coordenadas é utilizar da identidade trigonométrica fundamental.

Passo 2

Assim, reescrevendo de forma a isolar o seno e o cosseno:

s e n   t = x 2                 e             cos ⁡ t = y 3

Da equação fundamental:

cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = 1

y 2 9 + x 2 4 = 1

Trata-se de uma elipse com eixo maior na direção y !

Veja que podemos facilmente encontrar quais os pontos que a figura encontra com os eixos:

y 2 9 + 0 4 = 1

y 2 = 3

y = ± 3

Então nesses pontos a nossa figura encontra o eixo y , agora vamos fazer o mesmo para o eixo x :

0 9 + x 2 4 = 1

x 2 = 4

x ± = 2

Então nesses pontos a nossa figura encontra o eixo x

Passo 3

Um esboço da trajetória é dado a seguir:

A partícula parte de ( 0 ,   3 ) quando t = 0 e da uma volta completa no sentido horário, até o ponto t = 2 π .

Resposta

y 2 9 + x 2 4 = 1

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