Enunciado

Resolva o problema de valor inicial.

y^' = x + y , y (0) = 2

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

y^' - y = x

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y^' + P (x) y = Q (x) ,

com

P (x) = - 1 e Q (x) = x

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e^(int P (x) d x)

Calculando a integral:

int P (x) d x = - int d x = - x

Assim,

I = e^(- x)

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y^' e^(- x) - e^(- x) y = x e^(- x)

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y^' e^(- x) - e^(- x) y = ( y e^(- x) ) '

Logo,

(d)/(d x) (y e^(- x)) = x e^(- x)

Integrando, obtemos

y e^(- x) = int x e^(- x) d x

Para calcular essa integral, usaremos integração por partes:

int v d u = u v - int v d u

Chamando u = x e d v = e^(- x) d x , obtemos

d u = d x e v = - e^(- x)

Assim,

int x e^(- x) d x = - x e^(- x) + int e^(- x) d x = - x e^(- x) - e^(- x) + C

Passo 3

Assim,

y e^(- x) = - x e^(- x) - e^(- x) + C

Isolando y :

y = - x - 1 + C e^x

Agora usamos a condição y (0) = 2 :

2 = - 0 - 1 + C => C = 3

Logo,

y = - x - 1 + 3 e^x

Resposta

y = - x - 1 + 3 e^x

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