O astrônomo Giovanni Cassini (1965-1712) estudou a família de curvas com equações polares

Para as quais e são números reais positivos. Essas curvas são chamadas ovas de Cassini, embora tenham formado oval apenas para certos valores de e . (Cassini pensou que essas curvas pudessem representar as orbitas planetárias melhor que as elipses de Kepler). Investigue a variedade de formatos que essas curvas podem ter. Em particular, como estão relacionados e quando a curva se divide em duas partes.

Não sei se você reparou, mas essa equação aí é uma equação polar implícita e a maioria dos programas gráficos não plota equações polares implícitas.

Isso significa que só pra conseguir começar a questão, a gente ainda vai ter que achar a equação explicita dessa bagaça aí.........

Repare que temos uma equação quadrática em , ou seja, organizando melhor

Então precisamos achar, a partir dessa expessão quadrática, o valor de em função de e também de e , que são as variáveis que queremos analisar o comportamento, afinal de contas.

Mesmo que pareça muuuuito complicado, como se trata de uma equação quadrática, podemos resolver usando a fórmula de baskara. Só que o nosso , na verdade é . Aí depois pra achar o valor de a gente ainda vai ter que tirar a raíz.

Vamos lá.

E pronto, é essa coisa bonita ai que temos que analisar o comportamento quando e variam.

Repare que nós temos QUATRO curvas!

As curvas porém são iguais, mas uma está na parte positiva e outra na parte negativa.